Ipersfera

In matematica, e in particolare in geometria, una ipersfera è l'analogo di una sfera in più di tre dimensioni. Una ipersfera di raggio ${\displaystyle r}$ nello spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale consiste di tutti i punti che hanno distanza ${\displaystyle r}$ da un dato punto fissato ${\displaystyle P}$, chiamato centro dell'ipersfera

${\displaystyle S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}}$

e rappresenta quindi un'ipersuperficie, ossia una varietà ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale immersa nello spazio ${\displaystyle n}$-dimensionale. Per tale motivo, su alcuni testi, in particolare in topologia, viene indicata con ${\displaystyle S_{n-1}}$ invece che ${\displaystyle S_{n}}$. In questo articolo, sarà indicata con ${\displaystyle S_{n}}$, per rendere più chiare alcune relazioni matematiche. Tuttavia, accenneremo alla notazione utilizzata in topologia nell'ultimo paragrafo.

Nello spazio euclideo, l'ipersfera ${\displaystyle S_{n}}$ è la frontiera della palla ${\displaystyle n}$-dimensionale chiusa, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore o uguale a ${\displaystyle r}$ da un dato punto ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\overline {V}}_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|\leqslant r\right\},}$

e racchiude la palla ${\displaystyle n}$-dimensionale aperta, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore di ${\displaystyle r}$ da un dato punto ${\displaystyle P}$

${\displaystyle V_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|<r\right\}.}$

Per esempio:

• nello spazio euclideo 1-dimensionale, ossia la retta, ${\displaystyle S_{1}}$ è una coppia di punti che delimita ${\displaystyle V_{1}}$ che è un segmento;
• nello spazio euclideo 2-dimensionale, ossia il piano, ${\displaystyle S_{2}}$ è una circonferenza che delimita ${\displaystyle V_{2}}$ che è un cerchio;
• nello spazio euclideo 3-dimensionale, ${\displaystyle S_{3}}$ è una superficie sferica ordinaria che delimita ${\displaystyle V_{3}}$ che è l'interno della sfera.