Wariancja

Wariancja – miara zmienności zmiennej losowej będąca wartością oczekiwaną kwadratu różnicy wartości zmiennej losowej X i jej wartości oczekiwanej^[1]. W statystyce opisowej obliczana jest jako średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od średniej^[2].

Wariancja zmiennej losowej ${\displaystyle X,}$ oznaczana jako ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ lub ${\displaystyle D^{2}(X),}$ zdefiniowana jest wzorem^[1]:

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E[(X-\mu )^{2}],}$

gdzie:

${\displaystyle E[\dots ]}$ jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,

${\displaystyle \mu }$ jest wartością oczekiwaną zmiennej ${\displaystyle X.}$

Innym, często prostszym, sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:

${\displaystyle D^{2}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.}$

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

Jeżeli ponadto ${\displaystyle \mathbb {E} X^{2}\leqslant \infty }$ oraz ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X|{\mathcal {G}}):=\mathbb {E} {\Big (}{\big (}X-{\mathcal {E}}(X|{\mathcal {G}}){\big )}^{2}{\Big |}\ {\mathcal {G}}{\Big )}.}$