Modulform

Der klassische Begriff einer Modulform ist der Oberbegriff für eine breite Klasse von Funktionen auf der oberen Halbebene (elliptische Modulformen) und deren höherdimensionalen Verallgemeinerungen (z. B. siegelsche Modulformen), der in den mathematischen Teilgebieten der Funktionentheorie und Zahlentheorie betrachtet wird. Der moderne Begriff einer Modulform ist dessen umfassende Neuformulierung in Termen der Darstellungstheorie (automorphe Darstellungen) und arithmetischen Geometrie (p-adische Modulformen). Klassische Modulformen sind Spezialfälle der sogenannten automorphen Formen. Neben Anwendungen in der Zahlentheorie haben sie zum Beispiel auch wichtige Anwendungen in der Stringtheorie und algebraischen Topologie.^[1]

Modulformen sind komplexwertige Funktionen mit bestimmten Symmetrien (vorgeschriebenes Transformationsverhalten unter der Modulgruppe SL ${\displaystyle (2,\mathbb {Z} )}$ oder deren Kongruenzuntergruppen). Sie hängen eng mit Gittern in der komplexen Ebene, doppeltperiodischen Funktionen (elliptischen Funktionen) und diskreten Gruppen zusammen.

1. ↑ Topologische Modulformen von Michael J. Hopkins u. a., Topological modular form, ncatLab