Fermatprimtal

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Fermatprimtal, uppkallade efter Pierre de Fermat, som först studerade dem, är primtal som kan skrivas på formen:

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

där n är ett naturligt tal. Det finns endast fem kända Fermatprimtal: 3, 5, 17, 257 och 65537, vilka fås då n är 0, 1, 2, 3 respektive 4. Det är inte känt om det finns oändligt många Fermatprimtal.

Carl Friedrich Gauss bevisade att det finns ett förhållande mellan konstruktionen av regelbundna månghörningar och Fermatprimtal: en regelbunden n-polygon kan konstrueras med passare och linjal om och endast om n är en potens av 2 eller produkten av en potens av 2 och distinkta Fermatprimtal.

Fermat förmodade att alla Fermattal var primtal, men Leonhard Euler visade 1732 att ${\displaystyle F_{5}}$ inte är ett primtal.

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4~294~967~297=641\cdot 6~700~417.}$