Insieme stellato

In matematica, un insieme ${\displaystyle S}$ nello spazio euclideo Rⁿ si dice stellato (o stellato-convesso, o ancora stellare) se esiste almeno un punto ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle S}$ tale che per tutti i punti ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle S}$ il segmento da ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle x}$ è contenuto in ${\displaystyle S}$. Un tale ${\displaystyle x_{0}}$ si dice centro e se l'insieme è aperto, allora il centro non è unico. Cosa che invece non accade per gli insiemi chiusi, dove il centro può anche essere unico, ad esempio se si considera l'unione dei due assi nel piano (che è chiuso) l'unico centro è l'origine.

Questa definizione è generalizzabile per ogni spazio vettoriale reale o complesso. In uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su Rⁿ un insieme ${\displaystyle A}$ si dice stellato se esiste almeno un punto ${\displaystyle x\in A}$ tale che per ogni altro punto ${\displaystyle y\in A}$ il segmento che li congiunge, cioè l'insieme ${\displaystyle \{x+t(y-x):t\in [0,1]\}}$, è interamente contenuto in ${\displaystyle A}$.

Intuitivamente, se si immagina ${\displaystyle S}$ come una regione circondata da un recinto, ${\displaystyle S}$ è un insieme stellato se si può trovare un punto di vista ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle S}$ dal quale qualunque punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle S}$ è visibile (cioè compreso nella linea dello sguardo).

Un particolare caso di insieme stellato è quello di insieme convesso, per il quale vale una condizione più forte: tutti i segmenti aventi per estremi una qualsiasi coppia di punti ${\displaystyle x,y\in A}$ sono interamente contenuti nell'insieme. Dunque un convesso è uno stellato che ha un centro in ogni suo punto.

Un campo irrotazionale definito su un dominio stellato è conservativo.