Gruppo unitario speciale

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado ${\displaystyle n}$ è il gruppo delle matrici unitarie ${\displaystyle n\times n}$ con determinante ${\displaystyle 1}$ dotato della consueta moltiplicazione.

Il gruppo speciale unitario, indicato con ${\displaystyle SU(n)}$, è un sottogruppo del gruppo unitario ${\displaystyle U(n)}$, che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$.

Il caso più semplice, ovvero ${\displaystyle SU(1)}$, è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo ${\displaystyle SU(2)}$ è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da ${\displaystyle SU(2)}$ sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è ${\displaystyle \{+I,-I\}}$.