Funzione di Mertens

La funzione di Mertens è una funzione che associa ad ogni intero positivo n il numero intero denotato con M(n) ottenuto come la somma dei valori assunti dalla funzione di Möbius in corrispondenza dei numeri interi compresi tra 1 ed n:

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$,

dove μ(k) denota la funzione di Möbius.

Essa è stata studiata dal matematico tedesco Franz Mertens (1840-1924).

Come successione di interi la funzione di Mertens compare nella OEIS in corrispondenza della sigla A002321.

Poiché la funzione di Möbius assume solo tre possibili valori (-1, 0 e +1), la funzione di Mertens, che è il suo integrale discreto, deve soddisfare la seguente disuguaglianza

${\displaystyle \left|M(n)\right|\leq n}$

In effetti i suoi valori al variare di n presentano un andamento oscillante e variazioni ridotte, presentano molti intervalli di stazionarietà e frequenti attraversamenti dell'asse delle ascisse.