Equazione differenziale di Bernoulli

Disambiguazione – Se stai cercando l'equazione di Bernoulli in fluidodinamica, vedi Equazione di Bernoulli.

In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

${\displaystyle y'+f(x)y=g(x)y^{n}}$

con ${\displaystyle n}$ costante. Se ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ e:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\qquad \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\}\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\qquad \alpha =2\\\end{array}}\right.}$

è una soluzione dell'equazione lineare:

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x)}$

allora si ha che ${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}}$ è una soluzione di:

${\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\qquad y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}}$

e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione ${\displaystyle y\equiv 0}$ per ${\displaystyle y_{0}=0}$ per ogni ${\displaystyle \alpha >0}$.