Elemento inverso

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In matematica, e in particolare in algebra astratta, dato un gruppo ${\displaystyle (G,\cdot )}$ e un suo elemento ${\displaystyle g,}$ si definisce elemento inverso (o semplicemente inverso) di ${\displaystyle g}$ un elemento ${\displaystyle h}$ appartenente a ${\displaystyle G}$ tale che:

${\displaystyle g\cdot h=h\cdot g=1_{G},}$

dove ${\displaystyle 1_{G}}$ indica l'elemento neutro del gruppo.

L'elemento inverso di un dato elemento ${\displaystyle g}$ è unico, infatti se avessimo due inversi ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle h^{*}}$ per ${\displaystyle g}$, avremmo che ${\displaystyle h^{*}=1_{G}\cdot h^{*}=(h\cdot g)\cdot h^{*}=h\cdot (g\cdot h^{*})=h\cdot 1_{G}=h}$. Inoltre, segue immediatamente dalla definizione che se ${\displaystyle h}$ è l'inverso di ${\displaystyle g,}$ allora ${\displaystyle g}$ è l'inverso di ${\displaystyle h.}$

In notazione additiva, dato il gruppo ${\displaystyle (G,+)}$ l'elemento inverso associato a ${\displaystyle g}$ si indica con ${\displaystyle -g}$ e si chiama di solito opposto. Nella notazione moltiplicativa, nei casi di gruppi numerici, l'elemento inverso si denota anche come reciproco e si indica con ${\displaystyle g^{-1}.}$