Costante di Eulero-Mascheroni

La costante di Eulero-Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}dx\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-\ln n\right),}$

dove ${\displaystyle H_{n}}$ è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:

${\displaystyle \gamma \approx }$ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...^[1]

Non è noto se ${\displaystyle \gamma }$ sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che ${\displaystyle \gamma }$ sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10²⁴²⁰⁸⁰ cifre.^[2]

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.