Aritmetica modulare

L'aritmetica modulare (a volte detta aritmetica dell'orologio poiché su questo principio si basa il calcolo delle ore a cicli di 12 o 24) rappresenta un importante ramo della matematica. Trova applicazioni nella crittografia, nella teoria dei numeri (in particolare nella ricerca dei numeri primi) ed è alla base di molte delle più comuni operazioni aritmetiche e algebriche.

Si tratta di un sistema di aritmetica degli interi, in cui i numeri "si avvolgono su loro stessi" ogni volta che raggiungono i multipli di un determinato numero ${\displaystyle n}$, detto modulo. Per capire, si pensi al funzionamento di un orologio in formato da 12 ore: trascorse quest'ultime "si ricomincia" dal numero 1 a contare le ore. Dire "sono le 3 del pomeriggio" (formato 12 ore) equivale a dire "sono le 15" (formato 24 ore). Tradotto in termini matematici, significa che ${\displaystyle 15\equiv 3{\pmod {12}}}$. Si legge, ${\displaystyle 15}$ è congruente a ${\displaystyle 3}$, modulo ${\displaystyle 12}$.

L'aritmetica modulare e la notazione usuale delle congruenze vennero formalmente introdotte da Carl Friedrich Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae, pubblicato nel 1801.