Kompleksni broj

Kompleksni brojevi su algebarski izrazi oblika ${\displaystyle a+bi}$, gdje su ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ realni brojevi, a ${\displaystyle i}$ imaginarna jedinica koja ispunjava jednadžbu ${\displaystyle i^{2}=-1}$.^[1]

Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva zapisanih u obliku uređenih parova definira se formulama:

• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}i)+(a_{2},b_{2}i)=(a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})i}$
• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}i)(a_{2},b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i}$

te analogno za oduzimanje i dijeljenje. Motivacija dolazi iz uobičajenih računskih operacija nad realnim brojevima.

U kompleksnom broju ${\displaystyle z=a+bi}$ broj ${\displaystyle a}$ se naziva realni dio, piše se ${\displaystyle a=Re(z)}$, a broj ${\displaystyle b}$ je imaginarni dio, i piše se ${\displaystyle b=Im(z)}$.

Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz ${\displaystyle i}$ jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi se u rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o profilu krila aviona itd. Kompleksni brojevi izniču u fizici zbog svoje geometrijske prirode (rotacije).

Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Kvadratna ili bilo koja jednadžba višeg stupnja ako ima kompleksna rješenja, ta će rješenja uvijek doći u konjugiranim parovima - imaginarni dio im je suprotan. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređeni par realnih brojeva ${\displaystyle (a,b)}$. Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:

${\displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,}$,

${\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)}$,

${\displaystyle {\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})}$.

Par ${\displaystyle (0,1)}$ se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom ${\displaystyle i}$. Iz potonjih formula slijedi da je ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

${\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1}$.

1. ↑ https://enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=32652