Logaritmo

O logaritmo dun número positivo x nunha certa base b, é o expoñente y ao que hai que elevar a base para obter o número dado. A base de logaritmos b ten que ser un número positivo distinto de un.

Abreviadamente o logartimo exprésase por log, indicando a continuación a base como un subíndice e lese "logaritmo en base b de x". Así:

log_bx=y se b^y=x

Por exemplo, o logaritmo de 1000 en base 10 é 3 (log₁₀1000=3) pois 10³=1000.

Obsérvese que unha igualdade logarítmica vai asociada a unha igualdade exponencial equivalente. Isto débese a que a función logarítmica é a inversa da función exponencial da mesma base para a composición de funcións.

Hai certas bases de logaritmos moi usadas, dando lugar a logaritmos con nome propio. Así:

• Os logaritmos de base 10 chámanse logaritmos vulgares ou decimais. Teñen moitas aplicacións en ciencia e enxeñaría. Adoitase a non escribir a base, así se se escribe logx, enténdese que é o logaritmo decimal de x.
• Os logarimtos de base e levan o nome de logaritmos naturais ou neperianos na honra do introdutor dos logaritmos, o matemático escocés John Napier. Son amplamente usados na matemática pura, especialmente no cálculo infinitesimal. Non se acostuma a usar a expresión habitual, log_e, senón ln ou L.
• Os logaritmos de base 2 reciben a denominación de logaritmos binarios e se usan profusamente na ciencia informática. Ademais da notación habitual, log₂, úsase tamén lb.

Os logaritmos foron introducidos por John Napier a comezos do século XVII como unha ferramenta para simplificar cálculos. Foron adoptados rapidamente por navegantes, científicos, enxañeiros e outros profesionais para realizar cálculos máis facilmente, usando regras de cálculo e táboas de logaritmos. As tediosas multiplicacións de números con moitas cifras podían facerse cunha simple suma dos logaritmos dos números a multiplicar, cuxos valores mirábanse na táboa de logaritmos; finalmente mirábase na táboa o número cuxo logaritmo era a suma achada, que viña a ser o produto que se buscaba. Isto débese a unha propiedade importante dos logaritmos, a cal di que o logaritmo dun produto é igual á suma dos logaritmos dos factores. Análogas propiedades permiten simplificar os cálculos das divisións, as potencias e as raíces.

A actual notación dos logaritmos ideouna Leonhard Euler no século XVIII ao relacionar as funcións exponencial e logarítmica.

As escalas logarítmicas reducen un amplo rango de cantidades a outras de máis pequeno alcance. Por exemplo, o decibelio é unha unidade logarítmica que mide a presión sonora. En química, o pH dunha solución acuosa é unha medida logarítmica da súa acidez. Os logaritmos son comúns nas fórmulas científicas, na medida da complexidade dun algoritmo informático e na medida dos fractais, describen intervalos musicais, aparecen en métodos de contaxe de números primos, informan sobre algúns modelos en psicofísica, e poden axudar na peritaxe forense.

Do mesmo xeito que a función logarítmica é a inversa da función exponencial, a función logarítmica complexa é a inversa da función exponencial complexa. O logaritmo discreto é outra variante con aplicacións na criptografía de chave pública.