Harmona meznombro

En matematiko, harmona meznombro estas speco de meznombro aŭ centra dispozicio de aro de nombroj.

La harmona meznombro H de pozitivaj reelaj nombroj x₁, x₂, ..., x_n estas la inverso de aritmetika meznombro de inversoj de la fontaj nombroj:

${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}1/x_{i}}}}$

Ekzemple harmona meznombro de nombroj 5 kaj 20 estas

${\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}}}={\frac {2}{\frac {1}{4}}}=8}$

kaj harmona meznombro de nombroj 2, 2, 5, 7 estas

${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}}={\frac {140}{47}}\approx 2,98}$

Harmona meznombro estas ĉiam inter minimumo kaj maksimumo de la datumaro:

${\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

kie la egalecoj estas se kaj nur se ĉiuj membroj de la datumaro estas egalaj inter si.

Por ĉiu datumaro, la harmona meznombro estas malpli granda ol aŭ egala al la geometria meznombro de la datumaro; kaj la geometria meznombro de datumaro estas malpli granda ol aŭ egala al aritmetika meznombro de la datumaro. La ĉiuj tri meznombroj estas inter si egalaj se kaj nur se ĉiuj membroj de la datumaro estas egalaj inter si.

Harmona meznombro estas la speciala okazo M_-1 de la potenca meznombro. Harmona meznombro estas la ĝeneraligita funkcia meznombro kun inverso kiel la funkcio, f(x) = 1/x.

Pro tio ke la harmona meznombro de aro de nombroj emas forte al la plej malgrandaj eroj, ĝi komparite al la aritmetika meznombro, malpligrandigas influo de la grandaj eroj kaj pligrandigas influon de la malgrandaj eroj.