Geometria meznombro

En matematiko, geometria meznombro estas speco de meznombro aŭ centra dispozicio de aro de nombroj.

Geometria meznombro de n pozitivaj reelaj nombroj nombroj x₁, x₂, ..., x_n estas n-a radiko de ilia produto:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$

Geometria meznombro estas simila al la aritmetika meznombro (averaĝo), sed anstataŭ adiciado, de la nombroj ili estas multiplikitaj; anstataŭ dividado de la sumo per kvanto n de la nombroj, de la produto estas prenata la n-a radiko.

La geometria meznombro nur aplikatas al pozitivaj nombroj por eviti prenon de radiko de negativa produto, kio povas rezulti je kompleksa nombro, kio kutime ne konvenas al esti konsiderata kiel meznombro. La sekve donitaj propraĵoj rilatas nur al ĉi tiu okazo de pozitivaj nombroj.

Ekzemple, la geometria meznombro de 2 kaj 8, estas ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}$, dum kiam ilia aritmetika meznombro estas ${\displaystyle {\frac {2+8}{2}}=5}$. Por nombroj 2, 2, 5, 7 la geometria meznombro estas ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}}\approx 3,44}$, dum kiam ilia aritmetika meznombro estas ${\displaystyle {\frac {2+2+5+7}{4}}=4}$.

Geometria meznombro estas ĉiam inter minimumo kaj maksimumo de la datumaro:

${\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

kie la egalecoj estas se kaj nur se ĉiuj membroj de la datumaro estas egalaj inter si.

Estas la neegalaĵo de aritmetika kaj geometria meznombroj, kiu statas ke geometria meznombro de datumaro estas malpli granda ol aŭ egala al aritmetika meznombro de la datumaro. Ankaŭ, por ĉiu datumaro, la geometria meznombro estas pli granda ol aŭ egala al la harmona meznombro de la datumaro. La ĉiuj tri meznombroj estas inter si egalaj se kaj nur se ĉiuj membroj de la datumaro estas egalaj inter si.

Geometria meznombro de datumaro egalas al eksponento de aritmetika meznombro de naturaj logaritmoj de la datumaro:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}\right)}$

ĉar per uzo de logaritmoj por konverti la formulon, oni povas esprimi la produton kiel sumo. Alivorte, geometria meznombro estas la aritmetika meznombro en la logaritma skalo.

Tiel geometria meznombro estas la ĝeneraligita funkcia meznombro kun logaritmo kiel la funkcio, f(x) = ln x.

La geometria meznombro de du nombroj estas ankaŭ la aritmetiko-harmona meznombro en la senco ke se du vicoj (a_n) kaj (h_n) estas difinitaj kiel

a₀=x

h₀=y

kaj por n>0

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}}}$

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}}$

tiam ambaŭ a_n kaj h_n konverĝas al la geometria meznombro de x kaj y.