Demi-anneau

Ne doit pas être confondu avec semi-anneau d'ensembles.

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En mathématiques, un demi-anneau, ou semi-anneau, est une structure algébrique ${\displaystyle (E,+,\times ,0,1)}$ qui a les propriétés suivantes :

• ${\displaystyle (E,+,0)}$ constitue un monoïde commutatif ;
• ${\displaystyle (E,\times ,1)}$ forme un monoïde ;
• ${\displaystyle \times }$ est distributif par rapport à + ;
• 0 est absorbant pour le produit, autrement dit: pour tout ${\displaystyle x\in E:x\times 0=0\times x=0}$.

Ces propriétés sont proches de celles d'un anneau, la différence étant qu'il n'y a pas nécessairement d'inverses pour l’addition dans un demi-anneau.

Un demi-anneau est commutatif quand son produit est commutatif ; il est idempotent quand son addition est idempotente. Parfois on distingue les demi-anneaux et les demi-anneaux unifères : dans ce cas, la structure multiplicative n'est qu'un demi-groupe, donc ne possède pas nécessairement un élément neutre. En général, on demande aussi que ${\displaystyle 0\neq 1}$. Un demi-anneau qui ne possède pas nécessairement un élément neutre pour sa multiplication est parfois appelé hémi-anneau (hemiring en anglais)^[1].

Contrairement à ce qui se passe pour les anneaux, on ne peut démontrer que 0 est un élément absorbant à partir des autres axiomes.