Adveksjonslikninga

Adveksjonslikninga er ei partiell differensiallikning som styrer rørsla til ein konservert skalar når han vert advektert av eit kjent vektorfelt. Differensiallikninga vert utleidd ved å bruke skalaren si bevaringslov i lag med Gauss sitt teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.

Det beste dømet på dette er kanskje transport av oppløyst salt i vatn.

Matematisk kan ein uttrykke adveksjonslikninga som:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\psi {\mathbf {u} }\right)=0}$

der ∇· er divergensen. Ofte tenkjer ein seg at snøggleiksfeltet er solenoidalt, altså er ${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {u} }=0}$. Når dette er oppfylt vert likninga over redusert til

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0.}$

Visst straumen er laminær, er ${\displaystyle {\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0}$ som viser at ${\displaystyle \psi }$ er konstant langs ei straumlinje.

Adveksjonslikninga er ikkje enkel å løyse numerisk: Systemet er ei hyperbolsk partiell differensiallikning, og interesseområdet er vanlegvis rundt diskontinuerlege «sjokkløysingar» (som er svært vanskeleg å takle for numeriske skjema).

Sjølv med konstant fart og eit eindimensjonalt rom er systemet vanskeleg å simulere (det er ein standardtest for adveksjonsskjema som vert kalla grisehusproblem). Likninga over blir då:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0}$

der ${\displaystyle \psi =\psi (x,t)}$.

I følgje Zang [2] kan ei skeivsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løysinga.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\mathbf {u} }\cdot \nabla {\mathbf {u} }+{\frac {1}{2}}\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })}$

der ${\displaystyle \nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })}$ er ein vektor med komponentar ${\displaystyle [\nabla ({\mathbf {u} }u_{x}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{y}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{z})]}$ der ein har brukt notasjonen ${\displaystyle {\mathbf {u} }=[u_{x},u_{y},u_{z}]}$.

Sidan skeivsymmetri berre medfører komplekse eigenverdiar, reduserer denne forma «oppblåsing» og «spektral blokkering», som ein ofte får i numeriske løysingar med skarpe diskontinuitetar (sjå Boyd [1] pp. 213).